全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法
一、抽象函数的定义域
例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) (a>0)的定义域.
解析：由由a>0 知只有当0
点评：1。已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解;
2。已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x [a,b]上的值域。
二、抽象函数的值域
解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定.
例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的`值域.
解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则 完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1].
三、抽象函数的奇偶性
例3若y=f(x)是偶函数,y= f(x-1)是奇函数，求 f(2007)=?
解析：因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){为什么?};因为 y=f(x)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1){为什么?};因为f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)
四、抽象函数的对称性
例4已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为( )
A、 2 B、 0 C、 1 D、不能确定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=[f (x)-1]/2，∵ y=f(2x+1) 是奇函数，
∴y=[f (x)-1]/2也是奇函数，∴[f (x)-1]/2+[f (-x)-1]/2=0 ∴f (x)+f (-x)=2，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴g(x)+ g(-x)= f (x)+f (-x)故选A .
五、抽象函数的周期性
例5、(2009全国卷Ⅰ理)函数的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( )
(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数
(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函数
解: ∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，，
函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为4的周期函数。，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函数.故选D
关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了.
定理1。若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x+a)=f (x-b)，则y=f (x) 是以T=a+b为周期的周期函数.
定理2。若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x+a)= -f (x-b)，则y=f (x) 是以T=2(a+b)为周期的周期函数.
定理3。若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b (a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b-a)为周期的周期函数.
et 定理4。若函数y=f (x)的图像关于点(a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=2(b-a)为周期的周期函数.
定理5。若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b-a)为周期的周期函数.
性质1：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a-b);
性质2：若函数f(x)满足f(a-x)= - f(a+x)及f(b-x)=- f(b+x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a-b)。
特别：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a。
性质3：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)= - f(b+x) (a≠b,ab≠0)， 则函数有周期4(a-b)。
特别：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a.
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高.但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。