高二数学练习题答案
一、选择题
1.如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0，那么()
A.f(x0)0 B.f(x0)0
C.f(x0)=0 D.f(x0)不存在
[答案] B
[解析] 切线x+2y-3=0的斜率k=-12，即f(x0)=-120.故应选B.
2.曲线y=12x2-2在点1，-32处切线的倾斜角为()
A.1 B.4
C.544
[答案] B
[解析] ∵y=limx0 [12(x+x)2-2]-(12x2-2)x
=limx0 (x+12x)=x
切线的斜率k=y|x=1=1.
切线的倾斜角为4，故应选B.
3.在曲线y=x2上切线的倾斜角为4的点是()
A.(0,0) B.(2,4)
C.14，116 D.12，14
[答案] D
[解析] 易求y=2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0=1，x0=12，P12，14.
4.曲线y=x3-3x2+1在点(1，-1)处的切线方程为()
A.y=3x-4 B.y=-3x+2
C.y=-4x+3 D.y=4x-5
[答案] B
[解析] y=3x2-6x，y|x=1=-3.
由点斜式有y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.
5.设f(x)为可导函数，且满足limx0 f(1)-f(1-2x)2x=-1，则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()
A.2 B.-1
C.1 D.-2
[答案] B
[解析] limx0 f(1)-f(1-2x)2x=limx0 f(1-2x)-f(1)-2x
=-1，即y|x=1=-1，
则y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为-1，故选B.
6.设f(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
7.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8，则f(5)及f(5)分别为()
A.3,3 B.3，-1
C.-1,3 D.-1，-1
[答案] B
[解析] 由题意易得：f(5)=-5+8=3，f(5)=-1，故应选B.
8.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则P点的坐标为()
A.(1,0)或(-1，-4) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(1,4)
[答案] A
[解析] ∵f(x)=x3+x-2，设xP=x0，
y=3x20x+3x0(x)2+(x)3+x，
yx=3x20+1+3x0(x)+(x)2，
f(x0)=3x20+1，又k=4，
3x20+1=4，x20=1.x0=1，
故P(1,0)或(-1，-4)，故应选A.
9.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为()
A.0，23 B.0，56
C.23 D.2，56
[答案] A
[解析] 设P(x0，y0)，
∵f(x)=limx0 (x+x)3-3(x+x)+23-x3+3x-23x
=3x2-3，切线的斜率k=3x20-3，
tan=3x20-3-3.
0，23.故应选A.
10.(2016福州高二期末)设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，4]，则点P横坐标的取值范围为()
A.[-1，-12] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[12，1]
[答案] A
[解析] 考查导数的几何意义.
∵y=2x+2，且切线倾斜角[0，4]，
切线的斜率k满足01，即01，
-1-12.
二、填空题
11.已知函数f(x)=x2+3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________.
[答案] 4x-y-1=0
[解析] ∵f(x)=x2+3，x0=2
f(2)=7，y=f(2+x)-f(2)=4x+(x)2
yx=4+x.limx0 yx=4.即f(2)=4.
又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y-7=4(x-2)
即4x-y-1=0.
12.若函数f(x)=x-1x，则它与x轴交点处的切线的.方程为________.
[答案] y=2(x-1)或y=2(x+1)
[解析] 由f(x)=x-1x=0得x=1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).
∵f(x)=limx0 (x+x)-1x+x-x+1_
=limx0 1+1x(x+x)=1+1x2.
切线的斜率k=1+11=2.
切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1).
13.曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个.
[答案] 至少一
[解析] 由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个.
14.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为________.
[答案] 3x-y-11=0
[解析] 设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为 ，它是x0的函数，求出其最小值.
设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k= =3x20+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3，此时P的坐标为(-1，-14)，其切线方程为3x-y-11=0.
三、解答题
15.求曲线y=1x-x上一点P4，-74处的切线方程.
[解析] y=limx0 1x+x-1x-(x+x-x)x
=limx0 -_(x+x)-_+x+_
=limx0 -1x(x+x)-1x+x+x=-1x2-12x .
y|x=4=-116-14=-516，
曲线在点P4，-74处的切线方程为：
y+74=-516(x-4).
即5x+16y+8=0.
16.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;
(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).
[解析] (1)y=limx0 (x+x)3-3(x+x)-3x3+3_=3x2-3.
则过点P且以P(1，-2)为切点的直线的斜率
k1=f(1)=0，
所求直线方程为y=-2.
(2)设切点坐标为(x0，x30-3x0)，
则直线l的斜率k2=f(x0)=3x20-3，
直线l的方程为y-(x30-3x0)=(3x20-3)(x-x0)
又直线l过点P(1，-2)，
-2-(x30-3x0)=(3x20-3)(1-x0)，
x30-3x0+2=(3x20-3)(x0-1)，
解得x0=1(舍去)或x0=-12.
故所求直线斜率k=3x20-3=-94，
于是：y-(-2)=-94(x-1)，即y=-94x+14.
17.求证：函数y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.
[解析] y=limx0 f(x+x)-f(x)x
=limx0 x+x+1x+x-x+1_
=limx0 _(x+x)-x(x+x)_
=limx0 (x+x)x-1(x+x)x
=x2-1x2=1-1x21，
y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.
18.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.
[解析] (1)y|x=1
=limx0 (1+x)2+(1+x)-2-(12+1-2)x=3，
所以l1的方程为：y=3(x-1)，即y=3x-3.
设l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b，b2+b-2)，
y|x=b=limx0 (b+x)2+(b+x)-2-(b2+b-2)x
=2b+1，所以l2的方程为：y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b)，即y=(2b+1)x-b2-2.
因为l1l2，所以3(2b+1)=-1，所以b=-23，所以l2的方程为：y=-13x-229.
(2)由y=3x-3，y=-13x-229，得x=16，y=-52，
即l1与l2的交点坐标为16，-52.
又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，-223，0.
所以所求三角形面积S=12-521+223=12512.
高二数学的练习题答案
1.下列不等式的解集是的为( )
A.x2+2x+1≤0 B.x2≤0
C.(12)x-1<0 D.1x-3>1x
答案：D
2.若x2-2ax+2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(-2，2] B.(-2，2)
C.[-2，2) D.[-2，2]
解析：选D.Δ=(-2a)2-4×1×2≤0，∴-2≤a≤2.
3.方程x2+(m-3)x+m=0有两个实根，则实数m的取值范围是________.
解析：由Δ=(m-3)2-4m≥0可得.
答案：m≤1或m≥9
4.若函数y=kx2-6kx+k+8的定义域是R，求实数k的取值范围.
解：①当k=0时，kx2-6kx+k+8=8满足条件;
②当k>0时，必有Δ=(-6k)2-4k(k+8)≤0，
解得0<k≤1.综上，0≤k≤1.< p="">
一、选择题
1.已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是R，则( )
A.a<0，Δ>0 B.a<0，Δ<0
C.a>0，Δ<0 D.a>0，Δ>0
答案：B
2.不等式x2x+1<0的解集为( )
A.(-1,0)∪(0，+∞) B.(-∞，-1)∪(0,1)
C.(-1,0) D.(-∞，-1)
答案：D
3.不等式2x2+mx+n>0的解集是{_>3或x<-2}，则二次函数y=2x2+mx+n的表达式是( )
A.y=2x2+2x+12 B.y=2x2-2x+12
C.y=2x2+2x-12 D.y=2x2-2x-12
解析：选D.由题意知-2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得-2+3=-m2，-2×3=n2.∴m=-2，n=-12.因此二次函数的表达式是y=2x2-2x-12，故选D.
4.已知集合P={0，m}，Q={x2x2-5x<0，x∈Z}，若P∩Q≠，则m等于( )
A.1 B.2
C.1或25 D.1或2X k b 1 . c o m
解析：选D.∵Q={x0<x<52，x∈z}={1,2}，∴m=1或2.< p="">
5.如果A={xax2-ax+1<0}=，则实数a的.集合为( )
A.{a0<a<4} p="" b.{a0≤a<4}
C.{a0<a≤4} p="" d.{a0≤a≤4}
解析：选D.当a=0时，有1<0，故A=.当a≠0时，若A=，
则有a>0Δ=a2-4a≤00<a≤4.< p="">
综上，a∈{a0≤a≤4}.
6.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x-0.1x2(0<x<240，x∈n)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( p="" )
A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
解析：选C.3000+20x-0.1x2≤25_2+50x-30000≥0，解得x≤-200(舍去)或x≥150.
二、填空题
7.不等式x2+mx+m2>0恒成立的条件是________.
解析：x2+mx+m2>0恒成立，等价于Δ<0，
即m2-4×m2<00<m<2.< p="">
答案：0<m<2< p="">
8.(2010年上海卷)不等式2-_+4>0的解集是________.
解析：不等式2-_+4>0等价于(x-2)(x+4)<0，∴-4<x<2.< p="">
答案：(-4,2)
9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s=12t2-2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________.
解析：依题意有12t2-2t>30，
解得t>10或t<-6(舍去).
答案：t>10
三、解答题
10.解关于x的不等式(lgx)2-lgx-2>0.
解：y=lgx的定义域为{_>0}.
又∵(lgx)2-lgx-2>0可化为(lgx+1)(lgx-2)>0，
∴lgx>2或lgx<-1，解得x<110或x>100.
∴原不等式的解集为{x0<x100}.
11.已知不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围.
解：当a=0时，
不等式为-x-1<0x>-1不恒成立.
当a≠0时，不等式恒成立，则有a<0，Δ<0，
即a<0a-12-4aa-1<0
a<03a+1a-1>0
a<0a<-13或a>1a<-13.
即a的取值范围是(-∞，-13).
12.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内?
解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20-52t)万亩.则税收收入为(20-52t)×24000×t%.
由题意(20-52t)×24000×t%≥9000，
整理得t2-8t+15≤0，解得3≤t≤5.
∴当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元.
高二数学练习试题答案
一、选择题
1.已知an+1=an-3，则数列{an}是()
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
解析：∵an+1-an=-30，由递减数列的定义知B选项正确.故选B.
答案：B
2.设an=1n+1+1n+2+1n+3++12n+1(nN_)，则()
A.an+1an B.an+1=an
C.an+1
解析：an+1-an=(1n+2+1n+3++12n+1+12n+2+12n+3)-(1n+1+1n+2++12n+1)=12n+3-12n+1=-12n+32n+2.
∵nN_，an+1-an0.故选C.
答案：C
3.1,0,1,0，的通项公式为()
A.2n-1 B.1+-1n2
C.1--1n2 D.n+-1n2
解析：解法1：代入验证法.
解法2：各项可变形为1+12，1-12，1+12，1-12，，偶数项为1-12，奇数项为1+12.故选C.
答案：C
4.已知数列{an}满足a1=0，an+1=an-33an+1(nN_)，则a20等于()
A.0 B.-3
C.3 D.32
解析：由a2=-3，a3=3，a4=0，a5=-3，可知此数列的最小正周期为3，a20=a36+2=a2=-3，故选B.
答案：B
5.已知数列{an}的通项an=n2n2+1，则0.98()
A.是这个数列的项，且n=6
B.不是这个数列的项
C.是这个数列的项，且n=7
D.是这个数列的项，且n=7
解析：由n2n2+1=0.98，得0.98n2+0.98=n2，n2=49.n=7(n=-7舍去)，故选C.
答案：C
6.若数列{an}的通项公式为an=7(34)2n-2-3(34)n-1，则数列{an}的()
A.最大项为a5，最小项为a6
B.最大项为a6，最小项为a7
C.最大项为a1，最小项为a6
D.最大项为a7，最小项为a6
解析：令t=(34)n-1，nN+，则t(0,1]，且(34)2n-2=[(34)n-1]2=t2.
从而an=7t2-3t=7(t-314)2-928.
函数f(t)=7t2-3t在(0，314]上是减函数，在[314，1]上是增函数，所以a1是最大项，故选C.
答案：C
7.若数列{an}的前n项和Sn=32an-3，那么这个数列的通项公式为()
A.an=23n-1 B.an=32n
C.an=3n+3 D.an=23n
解析：
①-②得anan-1=3.
∵a1=S1=32a1-3，
a1=6，an=23n.故选D.
答案：D
8.数列{an}中，an=(-1)n+1(4n-3)，其前n项和为Sn，则S22-S11等于()
A.-85 B.85
C.-65 D.65
解析：S22=1-5+9-13+17-21+-85=-44，
S11=1-5+9-13++33-37+41=21，
S22-S11=-65.
或S22-S11=a12+a13++a22=a12+(a13+a14)+(a15+a16)++(a21+a22)=-65.故选C.
答案：C
9.在数列{an}中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1-an，则a2007等于()
A.-4 B.-5
C.4 D.5
解析：依次算出前几项为1,5,4，-1，-5，-4,1,5,4，，发现周期为6，则a2007=a3=4.故选C.
答案：C
10.数列{an}中，an=(23)n-1[(23)n-1-1]，则下列叙述正确的是()
A.最大项为a1，最小项为a3
B.最大项为a1，最小项不存在
C.最大项不存在，最小项为a3
D.最大项为a1，最小项为a4
解析：令t=(23)n-1，则t=1，23，(23)2，且t(0,1]时，an=t(t-1)，an=t(t-1)=(t-12)2-14.
故最大项为a1=0.
当n=3时，t=(23)n-1=49，a3=-2081;
当n=4时，t=(23)n-1=827，a4=-152729;
又a3
答案：A
二、填空题
11.已知数列{an}的'通项公式an=
则它的前8项依次为________.
解析：将n=1,2,3，，8依次代入通项公式求出即可.
答案：1,3，13，7，15，11，17，15
12.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3，则{an}中的最大项是第________项.
解析：an=-2(n-294)2+8658.当n=7时，an最大.
答案：7
13.若数列{an}的前n项和公式为Sn=log3(n+1)，则a5等于________.
解析：a5=S5-S4=log3(5+1)-log3(4+1)=log365.
答案：log365
14.给出下列公式：
①an=sinn
②an=0，n为偶数，-1n，n为奇数;
③an=(-1)n+1.1+-1n+12;
④an=12(-1)n+1[1-(-1)n].
其中是数列1,0，-1,0,1,0，-1,0，的通项公式的有________.(将所有正确公式的序号全填上)
解析：用列举法可得.
答案：①
三、解答题
15.求出数列1,1,2,2,3,3，的一个通项公式.
解析：此数列化为1+12，2+02，3+12，4+02，5+12，6+02，，由分子的规律知，前项组成正自然数数列，后项组成数列1,0,1,0,1,0，.
an=n+1--1n22，
即an=14[2n+1-(-1)n](nN_).
也可用分段式表示为
16.已知数列{an}的通项公式an=(-1)n12n+1，求a3，a10，a2n-1.
解析：分别用3、10、2n-1去替换通项公式中的n，得
a3=(-1)3123+1=-17，
a10=(-1)101210+1=121，
a2n-1=(-1)2n-1122n-1+1=-14n-1.
17.在数列{an}中，已知a1=3，a7=15，且{an}的通项公式是关于项数n的一次函数.
(1)求此数列的通项公式;
(2)将此数列中的偶数项全部取出并按原来的先后顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的通项公式.
解析：(1)依题意可设通项公式为an=pn+q，
得p+q=3，7p+q=15.解得p=2，q=1.
{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)依题意bn=a2n=2(2n)+1=4n+1，
{bn}的通项公式为bn=4n+1.
18.已知an=9nn+110n(nN_)，试问数列中有没有最大项?如果有，求出最大项，如果没有，说明理由.
解析：∵an+1-an=(910)(n+1)(n+2)-(910)n(n+1)=(910)n+18-n9，
当n7时，an+1-an
当n=8时，an+1-an=0;
当n9时，an+1-an0.
a1
故数列{an}存在最大项，最大项为a8=a9=99108.