高二数学试题练习答案
【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.
一、选择题(每小题6分，共42分)
1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的( )
A.充分不必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列;若a,b,c成等比，则 ，即b2=ac.
2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于( )
A.120 B.240 C.320 D.480
【答案】C
【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列(公比为q2).
∴a5+a6= =320.
3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
【答案】C
【解析】∵an=
要使{an}成等比，则3+a=2?31-1=2?30=2,即a=-1.
4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)?f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N_),则数列{an}前n项和Sn的取值范围是( )
A.[ ，2) B.[ ，2]
C.[ ，1) D.[ ，1]
【答案】C
【解析】因f(n+1)=f(1)?f(n),则an+1=a1?an= an，
∴数列{an}是以 为首项，公比为 的等比数列.
∴an=( )n.
Sn= =1-( )n.
∵n∈N_,∴ ≤Sn<1.
5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2, a3,a1成等差数列，则 的值是( )
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】∵a3=a2+a1,
∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).
∴ .
6.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40?a50?a60的值为( )
A.32 B.64 C.±64 D.256
【答案】B
【解析】因a1?a99=16,故a502=16,a50=4,a40?a50?a60=a503=64.
7.如果P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的前n项之和，S′是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S′和n表示P，那么P等于( )
A.(S?S′ B.
C.( )n D.
【答案】B
【解析】设等比数列的首项为a1,公比q(q≠1)
则P=a1?a2?…?an=a1n? ,
S=a1+a2+…+an= ,
S′= +…+ ,
∴ =(a12qn-1 =a1n =P,
当q=1时和成立.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8.在等比数列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=___________________.
【答案】384
【解析】易知q≠1，由S5= =93及 =186.
知a1=3,q=2,故a8=a1?q7=3×27=384.
9.(2010湖北八校模拟，13)在数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= Sn(n≥1),则an=
【答案】( )?( )n-2
【解析】∵an+1= Sn,
∴an= Sn-1(n≥2).
①-②得,an+1-an= an,
∴ (n≥2).
∵a2= S1= ×1= ,
∴当n≥2时，an= ?( )n-2.
10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.
①若a,b,c成等比数列，则b= ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列 ③若{an}的通项an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),则{an}是等比数列 ④若{an}的前n项和Sn=apn(a,p均为非零常数)，则{an}是等比数列 ⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列
【答案】②④
【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列;
④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正确，①③⑤均可用定义法判断正确.
三、解答题(11—13题每小题10分，14题13分，共?43分)
11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn= ,
(1)求证数列{bn}也是等比数列;
(2)已知q>1,a1= ,问n为何值时，数列{an}的前n项和Sn大于数列{bn}的前n项和Sn′.
(1)证明：∵ =q,
∴ 为常数，则{bn}是等比数列.
(2)【解析】Sn=a1+a2+…+an
= ,
Sn′=b1+b2+…+bn
= ,
当Sn>Sn′时，
.
又q>1,则q-1>0,qn-1>0,
∴ ,即qn>q7,
∴n>7,即n>7(n∈N_)时，Sn>Sn′.
12.已知数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…,构造一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…此数列是首项为1，公比为 的等比数列.
(1)求数列{an}的通项;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)由已知得an-an-1=( )n-1(n≥2),a=1,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
= [1-( )n].
(2)Sn=a1+a2+a3+…+an
= - [ +( )2+…+( )n]
= - [1-( )n]
= ×( )n.
13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.
(1)求数列{cn}的前n项和Sn.
(2)是否存在n∈N_,使得 成立?请说明理由.
【解析】(1)由已知得
∴an=a1qn-1=2n.
∴cn=11-log2a2n=11-log222n
=11-2n.
Sn=c1+c2+…+cn= =-n2+10n.
(2)假设存在n∈N_,使得 即 .
∴22n+3×2n-3<0,解得 .
∵ =1,而2n≥2,
故不存在n∈N_满足 .
14.(2010湖北黄冈中学模拟，22) 已知函数f(x)= ,x∈(0,+∞),数列{xn}满足xn+1=f(xn),(n=1,2,…),且x1=1.
(1)设an=|xn- |,证明：an+1<an;< p="">
(2)设(1)中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn< .
证明：(1)an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= .
∵xn>0,
∴an+1<( -1)|xn- |<|xn- |=an,
故an+1<an.< p="">
(2)由(1)的证明过程可知
an+1<( -1)|xn- |
<( -1)2|xn-1- |
<…<( -1)n|x1- |=( -1)n+1
∴Sn=a1+a2+…+an<|x1- |+( -1)2+…+( -1)n
=( -1)+( -1)2+…+( -1)n
= [1-( -1)n]< .
高二数学综合测试参考答案
一、选择题：1-5 BAACD 6-10 BCACC 11-12 BD
二、填空题
13 . 80 14.±或0 15 .6-3 16.?-?
??,? 33?
三、解答题
17 .证明:(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1=F1，C1F∩BF=F，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.
又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1=A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
18 .解：(1)设y-1=k，则k表示点P(x,y)与点(2，1)连线的斜率.当该直线与圆相切x-2
2kk2+1=1，解得k=±3y-1，∴的值为，3x-23时，k取得值与最小值.由
最小值为-. 3
(2)设2x+y=m，则m表示直线2x+y=m在y轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m取得值与最小值.由-m5=1，解得m=1±，∴2x+y的值为1+，最小值为1-.
19.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，
所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，
又PQ?平面ACD，
从而PQ∥平面ACD.
(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC=BC，所以CQ⊥
AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，
所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.
故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ==DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，
因此DP⊥平面ABE，
∠DAP为AD和平面ABE所成的角，
在Rt△DPA中，AD=5，DP=1，
sin∠DAP=，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为
221255520.解：(1)配方得(x-1)+(y-2)=5-m，所以5-m>0，即m<5，
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)，∵ OM⊥ON，所以x1x2+y1y2=0，
x+2y-4=0?2由?2 得5x-16x+m+8=0， 2?x+y-2x-4y+m=0
因为直线与圆相交于M、N两点， 所以△=16-20(m+8)>0，即m<
所以x1+x2=224， 516m+84m-16，x1x2=， y1y2=(4-2x1)(4-2x2)=16-8(x1+x2)+4x1x2=， 555
8824代入解得m=满足m<5且m<，所以m=. 555
21.(1)证明：如图所示，取CD的中点E，
连接PE，EM，EA，
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin603.
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM3，AM=6，AE=3，
∴EM+AM=AE.∴AM⊥EM.
又PE∩EM=E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.
(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角.
PE3∴tan∠PME=1，∴∠PME=45°. EM3
∴二面角P-AM-D的大小为45°.22.(1)证明：连接AE，如下图所示.
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD=F，且F是AE的中点，
又G是EC的中点，
∴GF∥AC，又AC?平面ABC，GF?平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC=AB，EB?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC=BC222AB， 22∴CA+CB=AB，
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE.
(3)取AB的中点H，连GH，∵BC=AC=22= 22
1∴CH⊥AB，且CH=，又平面ABED⊥平面ABC 2
111∴GH⊥平面ABCD，∴V=1×326
高二数学练习册试题答案
1.下列说法中不正确的是()
A.数列a，a，a，…是无穷数列
B.1，-3，45，-7，-8，10不是一个数列
C.数列0，-1，-2，-3，…不一定是递减数列
D.已知数列{an}，则{an+1-an}也是一个数列
解析：选B.A，D显然正确;对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确;对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列.故选B.
2.已知数列{an}的通项公式为an=1+(-1)n+12，则该数列的前4项依次为()
A.1，0，1，0B.0，1，0，1
C.12，0，12，0D.2，0，2，0
解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0.
3.已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，那么()
A.30是数列{an}的一项B.44是数列{an}的一项
C.66是数列{an}的一项D.90是数列{an}的一项
解析：选C.分别令2n2-n的值为30，44，66，90，可知只有2n2-n=66时，n=6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项.
4.已知数列的通项公式是an=2，n=1，n2-2，n≥2，则该数列的前两项分别是()
A.2，4B.2，2
C.2，0D.1，2
解析：选B.当n=1时，a1=2;当n=2时，a2=22-2=2.
5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()
A.an=n2-n+1B.an=n(n-1)2
C.an=n(n+1)2D.an=n(n+2)2
解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果.图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.
法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式.观察点的个数的增加趋势可以发现，a1=1×22，a2=2×32，a3=3×42，a4=4×52，所以猜想an=n(n+1)2，故选C.
6.若数列{an}的通项满足ann=n-2，那么15是这个数列的第________项.
解析：由ann=n-2可知，an=n2-2n.
令n2-2n=15，得n=5.
答案：5
7.已知数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，则它的一个通项公式为________.
解析：由于11=10+1，102=102+2，1003=103+3，10004=104+4，…，所以该数列的一个通项公式是an=10n+n.
答案：an=10n+n
8.已知数列{an}的通项公式为an=2017-3n，则使an>0成立的正整数n的值为________.
解析：由an=2017-3n>0，得n<20173=67213，又因为n∈N+，所以正整数n的值为672.
答案：672
9.已知数列{n(n+2)}：
(1)写出这个数列的第8项和第20项;
(2)323是不是这个数列中的项?如果是，是第几项?
解：(1)an=n(n+2)=n2+2n，所以a8=80，a20=440.
(2)由an=n2+2n=323，解得n=17.
所以323是数列{n(n+2)}中的项，是第17项.
10.已知数列2，74，2，…的通项公式为an=an2+bcn，求a4，a5.
解：将a1=2，a2=74代入通项公式，
得a+bc=2，4a+b2c=74，解得b=3a，c=2a，所以an=n2+32n，
所以a4=42+32×4=198，a5=52+32×5=145.
[B能力提升]
11.已知数列{an}的通项公式为an=sinnθ，0<θ<π6，若a3=12，则a15=____________.
解析：a3=sin3θ=12，又0<θ<π6，所以0<3θ<π2，所以3θ=π6，所以a15=sin15θ=sin56π=12.
答案：12
12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________.
解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an=15n-14.
由an=15n-14≤2017得n≤135.4，当n=1时，此时a1=1，不符合，故此数列的项数为135-1=134.
答案：134
13.在数列{an}中，a1=3，a17=67，通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2016;
(3)2017是否为数列{an}中的项?若是，为第几项?
解：(1)设an=kn+b(k≠0).
由a1=3，且a17=67，得k+b=317k+b=67，
解之得k=4且b=-1.所以an=4n-1.
(2)易得a2016=4×2016-1=8063.
(3)令2017=4n-1，得n=20184=10092?N+，
所以2017不是数列{an}中的项.
14.(选做题)已知数列9n2-9n+29n2-1，
(1)求这个数列的第10项;
(2)98101是不是该数列中的项，为什么?
(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内;
(4)在区间13，23内是否有数列中的项?若有，有几项?若没有，说明理由.
解：(1)设an=9n2-9n+29n2-1=(3n-1)(3n-2)(3n-1)(3n+1)=3n-23n+1.令n=10，得第10项a10=2831.
(2)令3n-23n+1=98101，得9n=300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项.
(3)证明：因为an=3n-23n+1=3n+1-33n+1=1-33n+1，
又n∈N+，所以0<33n+1<1，所以0
所以数列中的各项都在区间(0，1)内.
(4)令13<3n-23n+1<23，所以3n+1<9n-6，9n-6<6n+2，
所以n>76，n<83.所以76
当且仅当n=2时，上式成立，故区间13，23内有数列中的项，且只有一项为a2=47.