高三数学复习试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={-1，0，1}， ，则AB等于
A. {1} B. {-1，1} C. {1，0} D. {-1，0，1}
2. 如是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方，若80分以上为优秀，根据形信息可知：
这次考试的优秀率为
A. B. C. D.
3.给出如下四个命题：
①若 且 为假命题，则 、 均为假命题;
②命题若 ，则 的否命题为若 ，则
③ 的否定是
④若 ，则 . 其中不正确的 命题的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
4. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视(如所示)的面积为8，则侧视的面积为
A. 8 B. 4 C. D.
5. 已知平面向量 、 为三个单位向量，且 . 满足 ( ),则x+y的最大值为
A.1 B. C. D.2
6. 设F是抛物线C1：y2=2px(p0)的焦点，点A是抛物线与双曲线C2： 0，b0)的一条渐近线的一个公共点，且AFx轴，则双曲线的离心率为
A. B. C. D. 2
7.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)= 则总利润最大时，每年生 产的产品数是
A.100 B.150 C.200 D.300
8.设 ，若 恒成立，则k的最大值为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
(一)必做题(9 ~ 13题)
9.计算： =__________.
10. 已知cos 31=m，则sin 239tan 149的值是________
11. 若 满足不等式组 时，恒有 ，则k的取值范围是___ .
12. 在1，2，3，4，5，6，7的任一排列 中，使相邻两数都互质的排列方式共有________种.(用数字作答)
13. 设M1(0，0)，M2(1，0)，以M1为圆心，| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2)，记作⊙M1;以M2为圆心，| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3)，记作⊙M2;
以Mn为圆心，| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1)，记作⊙Mn;
当nN_时，过原点作倾斜角为30的直线与⊙Mn交于An，Bn.考察下列论断：
当n=1时，| A1B1 |=2;
当n=2时，| A2B2 |= ;
当n=3时，| A3B3 |= ;
当n=4时，| A4B4 |= ;
由以上论断推测一个一般的结论：对于nN_，| AnBn |= .
(二)选做题(14 ~ 15题，考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)直线 与直线 平行，则直线 的斜率为 .
14.. (几何证明选讲选做题)如，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC， 垂足为点E.则 _______________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
若 的像与直线 相切，并且切点横坐标依次成公差为 的等差数列.
(1)求 和 的值;
(2)在⊿ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边。若 是函数 象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC外接圆的面积。
17. (本小题满分12分)
某地农民种植A种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为 ，雨水偏少的概率为 . 若雨水正常，A种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为 ，单价为3元/公斤的概率为 ; 若雨水偏少，A种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为 ，单价为3元/公斤的概率为 .
(1) 计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率;
(2)在政府引导下，计划明年采取公司加农户，订单农业的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500公斤，农民生产的A种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少?
18.(本小题满分14分) 如，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC,AB=2,tanEAB=
(1) 证明：平面ACD平面ADE;
(2) 当 AC=x时， V(x)表示三棱锥A-CBE的体积，当V(x)取得最大值时，求直线AD与平面ACE所成角的正弦值。
19.(本题满分14分)已知：函数 在点(0， )处的切线与x-y-1=0平行, 且g(2)= ,若 为g(x)的导函数，设函数 .
(1)求 、 的值及函数 的解析式;
(2)如果关于 的方程 有三个相异的实数根，求实数 的取值范围.
20(本题满分14分)
已知椭圆 和圆 ,过椭圆上一点 引圆 的两条切线，切点分别为 .
(1)(ⅰ)若圆 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率 的值;
(ⅱ)若椭圆上存在点 ，使得 ，求椭圆离心率 的取值范围;
(2)设直线 与 轴、 轴分别交于点 ，问当点P在椭圆上运动时， 是否为定值?请证明你的结论.
21.(本题满分14分)
设二次函数 ，对任意实数 ，有 恒成立;数列 满足 .
(1)求函数 的解析式和值域;
(2)试写出一个区间 ，使得当 时，数列 在这个区间上是递增数列，并说明理由;
(3)已知 ，是否存在非零整数 ，使得对任意 ，都有恒成立，若存在，求之;若不存在，说明理由
高三数学复习模拟试题
一、选择题:(8小题，每小题5分，共40分)
1.tan(-990°)=( )
A.0 B. C. D.不存在
2. 在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高(单位:cm)分布的茎叶图如图.已知记录的平均身高为174cm，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.一几何体的正视图和侧视是全等的等腰梯形，上下底边长分别为2和4，腰长为 ，俯视图为二个同心圆，则该几何体的体积为( )
A.14π B. C. D.
4.定义:适合条件a>b的复数a+bi (a,b∈R)称为“实大复数”，若复数 为“实大复数”，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，0) B.(0，+∞) C.[0，+∞) D.(2，+∞)
5.在数列{an}中，a1=1，数列{anan+2}是以3为公比的等比数列，则log3a2011等于( )
A.1003 B.1004 C.1005 D.1006
6.某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定007，后四位从“0000”到“9999”共10000个号码，公司规定:凡卡号的后四位带数字“4”或“7”的一律作为“优惠”卡来销售，则这组号码中“优惠卡”的个数为( )
A.2000 B.4096 C.5904 D.8320
7.设双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于点M、N，若 =0， = ，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.若函数y=f(x) (x∈R)满足f(x+1)+f(x)=1，当x∈[-1,1]时，f(x)=1-x2，函数g(x)= ，则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内的零点的个数为( )
A.9 B.11 C.13 D.14
二、填空题:(7小题，每小题5分，共35分)
9.已知随机变量X~N(2,σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.3，则X在(4,+∞)内的概率为 。
10.当a=1，b=3时执行完右边这段程序后x的值是 。
11.已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的x∈R，f(x)≥f(3)=f(4)都成立，则k的取值范围为 。
12.已知函数 的定义域是非零实数，且在(-∞，0)上是增函数，在(0，+∞)上是减函数，则最小的自然数a等于 。
13.已知:如下图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D、E两点，过点E作EF⊥CD交CB延长线于点F，若CD=2，CB=2 ，则CE= ，EF= 。007
14.已知点O在△ABC内部，且满足 ，向△ABC内任抛一点M，则点M落在△AOC内的概率为 。
15.某资料室在计算机使用中，如下表所示以一定规则排列的编码，且从左至右以及从上到下都是无限的，此表中，主对角线上数列1,2,5,10,17,…的通项公式为 ，编码100共出现 次。
三、解答题:(6小题，第16,17,18题每题12分，第19,20,21题每题13分，共75分)
16.已知函数f(x)=sinx+cosx，f `(x)是f(x)的导函数。
⑴ 求函数F(x)=f(x)f`(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期;
⑵ 若f(x)=2f`(x)，求 的值。
17.某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题:
⑴求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图;
⑵统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分;
⑶若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60)记0分，在[60,80)记1分，在[80,100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望。
18.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，点F在DE上，且AF⊥DE，若圆柱的侧面积与△ABE的面积之比等于4π. 007
(Ⅰ)求证:AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A―BD―E的正弦值.
19.某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为 万元(m>0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.
(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的`总补贴表示为它的函数，并求其定义域;
(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大?
20.在直角坐标系xOy中，椭圆C1: 的左、右焦点分别为F1、F2，其中右焦点F2也是抛物线C2:y2 = 4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2| = .
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设 ，是否存在斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆C1交于A、B两点，且|AE| = |BE|?若存在，求k的取值范围;若不存在，请说明理由.
21.已知 ，其中x∈R， 为参数，且0≤ ≤ 。
(1)当cos =0时，判断函数 是否有极值;
(2)要使函数 的极小值大于零，求参数 的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 在区间(2a – 1, a)内都是增函数，求实数a的取值范围。
高考数学专项复习试题
一、选择题
1.若点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )
A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
答案：B 命题立意：本题考查异面直线的几何性质，难度较小.
解题思路：因为点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，故选B.
2.如图，P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )
A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B.它们两两垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
答案：A 解题思路： DA⊥AB，DAPA，AB∩PA=A，DA⊥平面PAB，又DA平面PAD， 平面PAD平面PAB.同理可证平面PAB平面PBC.把四棱锥P-ABCD放在长方体中，并把平面PBC补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，CD1D=APB，CD1D<90°，故平面PAD与平面PBC不垂直.
3.设α，β分别为两个不同的平面，直线lα，则“lβ”是“αβ”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A 命题立意：本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力.
解题思路：依题意，由lβ，lα可以推出αβ;反过来，由αβ，lα不能推出lβ.因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要条件，故选A.
4.若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A.若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线
B.若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线
C.已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若mα，则nβ
D.m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直
答案：B 解题思路：本题考查了空间中线面的平行及垂直关系.在A中：因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故A为假命题;在B中：因为垂直于同一平面的两直线平行，故B为真命题;在C中：n可以平行于β，也可以在β内，也可以与β相交，故C为假命题;在D中：m，n也可以不互相垂直，故D为假命题.故选B.
5.如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为( )
A.4π B.2π
C.π D.-π
答案：D 解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.如图可知，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为NM的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论MDN如何变化，点P到点D的距离始终等于1.故点P的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面，其面积为.
技巧点拨：探求以空间图形为背景的轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡.
6.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
直线BE与直线CF是异面直线;直线BE与直线AF是异面直线;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD.
其中正确结论的序号是( )
A.1 B.1
C. 3D.4
答案：B 解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.画出几何体的图形，如图，由题意可知，直线BE与直线CF是异面直线，不正确，因为E，F分别是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线;直线BE与直线AF是异面直线，满足异面直线的定义，正确;直线EF平面PBC，由E，F是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以判断是正确的;由题中条件不能判定平面BCE平面PAD，故不正确.故选B.
技巧点拨：翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力.解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的.
二、填空题
7.如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，则异面直线BC与AE所成角的大小为________.
答案：45° 解题思路：因为BCAD，所以EAD就是异面直线BC与AE所成的角.
因为平面ABCD平面CEFB，且ECCB，
所以EC平面ABCD.
在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==.
在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sin EAD===.
又因为EAD∈(0°，90°)，所以EAD=45°.
故异面直线BC与AE所成的角为45°.
8.给出命题：
异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;
两异面直线a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α;
两异面直线a，b，如果a平面α，那么b不垂直于平面α;
两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.
上述命题中，真命题的序号是________.
答案： 解题思路：本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题为假命题;若bα，则ab，即a，b共面，这与a，b为异面直线矛盾，故命题为真命题;两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题为假命题.
9.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为________.
答案：16 命题立意：本题以球的内接组合体问题引出，综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法，同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.
解题思路：设球心到底面的距离为x，则底面边长为，高为x+3，正六棱锥的体积V=_(9-x2)_6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中0≤x<3，则V′=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.
10.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，则三棱锥与球的体积之比为________.
答案： 命题立意：本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法，意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.
解题思路：依题意，AB=2R，又=，ACB=90°，因此AC=R，BC=R，三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=PO·SABC=_R__R_R=R3.而球的体积V球=R3，因此VP-ABCV球=R3R3=.
三、解答题
11.如图，四边形ABCD与A′ABB′都是正方形，点E是A′A的中点，A′A平面ABCD.
(1)求证：A′C平面BDE;
(2)求证：平面A′AC平面BDE.
解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直，从而得到平面与平面垂直.
解析：(1)设AC交BD于M，连接ME.
四边形ABCD是正方形，
M为AC的中点.
又 E为A′A的中点，
ME为A′AC的'中位线，
ME∥A′C.
又 ME?平面BDE，
A′C?平面BDE，
A′C∥平面BDE.
(2)∵ 四边形ABCD为正方形， BD⊥AC.
∵ A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
A′A⊥BD.
又AC∩A′A=A， BD⊥平面A′AC.
BD?平面BDE，
平面A′AC平面BDE.
12.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.
(1)求证：D1CAC1;
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由.
命题立意：本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定，考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直，从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系，借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行，证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.
解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接C1D， DC=DD1，
四边形DCC1D1是正方形，
DC1⊥D1C.
又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，
AD⊥平面DCC1D1，
又D1C平面DCC1D1，
AD⊥D1C.
∵ AD?平面ADC1，DC1平面ADC1，
且AD∩DC1=D，
D1C⊥平面ADC1，
又AC1平面ADC1，
D1C⊥AC1.
(1)题图
(2)题图
(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN.
平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E平面A1BD，
可使MND1E，又M是AD1的中点，
则N是AE的中点.
又易知ABN≌△EDN，
AB=DE.
即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.
13.已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明：MN平面A′ACC′;
(2)求三棱锥C-MNB的体积.
命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
解析：(1)证明：如图，连接AB′，AC′，
四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，
AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点.
MN∥AC′.
又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，
MN∥平面A′ACC′.
(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN，
BAC=90°， BC==2，
又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，且AA′=4，
S△BCN=_2_4=4.
A′B′=A′C′=2，BAC=90°，点N为B′C′的中点，
A′N⊥B′C′，A′N=.
又BB′⊥平面A′B′C′，
A′N⊥BB′，
A′N⊥平面BCN.
又M为A′B的中点，
M到平面BCN的距离为，
VC-MNB=VM-BCN=_4_=.
14.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.
(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
命题立意：本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想.
解析：(1)证明：在ABD中，因为AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.
故ADBD.
又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，
所以BD平面PAD，
又BD平面MBD，
所以平面MBD平面PAD.
(2)过点P作OPAD交AD于点O，
因为平面PAD平面ABCD，
所以PO平面ABCD.
因此PO为四棱锥P-ABCD的高.
又PAD是边长为4的等边三角形，
所以PO=_4=2.
在四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，
所以四边形ABCD是梯形.
在Rt△ADB中，斜边AB上的高为=，此即为梯形ABCD的高.
所以四边形ABCD的面积S=_=24.
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=_24_2=16.