余角补角对顶角苏教版数学初一上册教案

黄飞

余角、补角、对顶角:教案

学习目标

1.在具体情境中了解对顶角,知道对顶角相等;

2.经历观察、操作、说理、交流的过程,进一步发展空间观念,学习有条理的表达数学问题;

3.会运用互为余角、互为补角、对顶角的性质来解决问题.

一、知识梳理

1、余角概念:

如果两个角的和是90°,那么这两个角互为余角,简称互余.

2、补角概念:

如果两个角的和是180°,那么这两个角互为补角,简称互补.

3、注意点:

互为余角、互为补角仅仅表明了两个角的数量关系,并没有限制角的位置关系.

4、邻补角概念:

两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,叫做邻补角.

5、同一个角的补角与余角的关系:

同一个角的补角比它的余角大 90°.

6、余角补角的性质:

同角的余角相等,同角的补角相等.

等角的余角相等,等角的补角相等.

7、对顶角概念:

一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角.(对顶角由两条相交直线产生)

8、对顶角相等.

9、数对顶角的对数:

二、典型例题

例1:判断正误:

(1)一个角一定小于它的余角,也小于它的补角.

(2)如果两个角互补,那么这两个角是锐角和钝角.

(3)如果三个角的和为180°,则这三个角互补.

(4)如果两个角相等,那么她们的补角也相等.

(5)若∠1=∠2,则∠1和∠2是对顶角.

(6)互补的角就是平角.

(7)互余的两个角一定都是锐角.

(8)不相等的两个角不是对顶角.

解析:

(1)错误,如60°大于它的余角30°,100°大于它的补角80°.

(2)错误,两个角可以都为直角.

(3)错误,互补是两个角之间的数量关系.

(4)正确.

(5)错误,比如一个角的角平分线,把这个角分成2个相等的小角不是对顶角.

(6)错误,两个互补的角的度数之和是平角的度数.

(7)正确.

(8)正确.

例2

解析:

例3:

一个角的余角比它的补角的一半还少20°,这个角的度数为______°.

分析:

这种题目难度不大,可以直接解设这个角的度数为x,表示出这个角的余角和补角,根据题目,列出方程.

当然本题还有一种做法,即设这个角的补角度数为x,表示出这个角的余角,同时,还要利用一个隐含的数量关系,同一个角的补角比它的余角大 90°.

解答:

三、思维提升

1、找余角补角

例1:

如图,O是直线AB上一点,∠AOE=∠FOD=90°,OB平分∠COD,图中与∠DOE互余的角有哪些?与∠DOE互补的角有哪些?

分析:

找互余的角,首先要找直角内部的射线将直角分成的2个角,或者可以形象的称为“邻余角”.

其次,再找有没有其他角和“邻余角”中的一个相等,则和另一个也互余.

找互补的角,首先找找有没有邻补角.再找有没有其他角和邻补角中的一个相等.

这里∠DOE相邻的余角有2个,∠EOF,∠DOB,再找找有没有和这两个角相等的角.

∠DOE在图中没有邻补角,因此,只能找和它相等的角,不难发现是∠AOF,找∠AOF的邻补角,再找和∠AOF的邻补角相等的角.

解答:

∵∠AOE=∠FOD=90°,∴∠BOE=90°

∠3+∠4=90°,∠3+∠2=90°,

∴∠2=∠4,

∵OB平分∠COD,

∴∠4=∠5,∠2=∠5,

∴∠DOE互余的是∠2、∠4、∠5;

∵∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,

∴∠3=∠1

∵∠1+∠BOF=180°,

∠BOF=∠2+∠3+∠4=∠5+∠3+∠4=∠EOC,

∴与∠DOE互补的角是∠BOF、∠EOC.

1、找余角补角

例2:

如下图,AOE是一条直线,从点O引射线OB,OC,OD,若∠AOC=∠COE=∠BOD=90°,那么图中互余的角有哪几对?互补的角有哪几对?

分析:

思路与例1一致,先找位置相邻的余角,找邻补角,然后找有没有其他角与其中一个相等的角,对于两个直角,也别忘了它们互补.

解答:

∵∠AOC=∠COE=∠BOD=90°

∴∠1+∠2=90°

∠2+∠3=90°,

∠3+∠4=90°,

∠1+∠4=90°,

互余的角有4对,

∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4,∠1与∠4,

∴∠1=∠3,∠2=∠4

∵∠1+∠DOE=180°,∴∠3+∠DOE=180°,

∠4+∠AOB=180°,∴∠2+∠AOB=180°,

∠AOC+∠COE=180°,

∠AOC+∠DOB=180°,

∠DOB+∠COE=180°,

互补的角有7对,

∠1与∠DOE,∠3与∠DOE,

∠4与∠AOB,∠2与∠AOB,

∠AOC与∠COE,

∠AOC与∠DOB,

∠DOB与∠COE.

1、找余角补角

例3:

如图,直线 AB与CD相交于O,OF,OD分别是∠AOE,∠BOE的平分线,

(1)写出∠DOE的补角;

(2)要若∠BOE=62°,求∠AOD和∠EOF的度数;

(3)求∠DOF的度数?

分析:

(1)要找∠DOE的补角,可以找它的邻补角,也可以找与∠DOE相等的角,再找出它的补角.

(2)要求∠AOD,不一定非要用角度之和,可以用180°减去∠BOD,要求∠EOF,可以求∠AOE,再求其一半.

(3)双角平分线问题,找到出现两次的边OE,则∠DOF看作∠FOE+∠DOE,利用一半加一半可求.

解答:

2、用方程思想

例1:

如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.∠BOF=30°,则∠AOC=______°.

分析:

要求∠AOC,其实就是求∠BOD.要求∠BOD,根据角平分线条件,可设∠EOD为x.,然后表示出∠EOF,进而表示出∠COE,则∠COE+∠EOD=180°,作为方程的相等关系.

解答:

∵OE平分∠BOD,∴∠BOD=2∠BOE,

∵OF平分∠COE,∴∠COF=∠FOE,

∴设∠BOE=x°,则∠BOD=2x°,

∵直线AB、CD相交于点O,

∴∠AOC=∠BOD=2x°,∠EOF=∠COF=(x+30)°,

则∠COF+∠EOF+∠DOE=2(x+30)+30=180,

解得:x=40,

故∠AOC=80°.

2、用方程思想

例2:

如图,直线AB、CD、EF相交于点O,∠AOD=∠BOD,且∠DOF与∠BOF的度数之比为3:1,求∠COE的度数.

分析:

要求∠COE,其实就是求∠FOD.而∠DOF与∠BOD的度数比已知,则可以设x,利用它们的差是∠BOD求解,而∠AOD=∠BOD,它们又是邻补角,则∠BOD的度数很快可知.

解答:

解设∠BOF=x°,∠DOF=3x°

∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=2x°

∵∠AOD=∠BOD,∠AOD+∠BOD=180°,

∴∠BOD=90°,

2x=90,x=45

∠DOF=135°.

《余角、补角、对顶角》同步测试

1. 如果一个角是36°,那么(  )

A.它的余角是64° B.它的补角是64°

C.它的余角是144° D.它的补角是144°

2.现有下列说法:①锐角的余角是锐角;②钝角没有余角;③直角的补角是直角;④两个锐角互余.其中正确说法的个数是(  )

A.4 B.3 C.2 D.1

《余角、补角、对顶角》测试

1.一个角是36°,则它的余角是_______,它的补角是_______.

2.∠A=50°17',则它的余角等于_______;∠B的补角是102°38'1',则∠B=_______.

3.已知∠α与∠β互余,且∠α=40°,则∠β的补角为_______度.

4.一个角的补角加上10°后,等于这个角的余角的3倍,则这个角是_______.

5.如图,点O在直线PQ上,OA是∠QOB的平分线,OC是∠POB的平分线,那么下列说法错误的是 ( )

A.∠AOB与∠POC互余

B.∠POC与∠QOA互余

C.∠POC与∠QOB互补

D.∠AOP与∠AOB互补

6.若互余的两个角有一条公共边,则这两个角的角平分线所组成的角 ( )

A.等于45°

B.小于45°

C.小于或等于45°

D.大于或等于45°

7.判断:

(1) 90°的角叫余角,180°的角叫补角. ( )

(2)如果∠1+∠2+∠3=180°,那么∠1、∠2与∠3互补. ( )

(3)如果两个角相等,则它们的补角相等.( )

(4)如果∠α>∠β,那么∠α的补角比∠β的补角大. ( )