高三解三角形专项练习附答案
一、选择题
1.在△ABC中,sinA=sinB,则△ABC是()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
答案D
2.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC是()
A.直角三角形B.等边三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
答案B
解析由正弦定理知:sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,
∴tanA=tanB=tanC,∴A=B=C.
3.在△ABC中,sinA=34,a=10,则边长c的取值范围是()
A.152,+∞B.(10,+∞)
C.(0,10)D.0,403
答案D
解析∵csinC=asinA=403,∴c=403sinC.
∴0
4.在△ABC中,a=2bcosC,则这个三角形一定是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
答案A
解析由a=2bcosC得,sinA=2sinBcosC,
∴sin(B+C)=2sinBcosC,
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,
∴sin(B-C)=0,∴B=C.
5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于()
A.6∶5∶4B.7∶5∶3
C.3∶5∶7D.4∶5∶6
答案B
解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,
∴b+c4=c+a5=a+b6.
令b+c4=c+a5=a+b6=k(k>0),
则b+c=4kc+a=5ka+b=6k,解得a=72kb=52kc=32k.
∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.
6.已知三角形面积为14,外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积为()
A.1B.2
C.12D.4
答案A
解析设三角形外接圆半径为R,则由πR2=π,
得R=1,由S△=12absinC=abc4R=abc4=14,∴abc=1.
二、填空题
7.在△ABC中,已知a=32,cosC=13,S△ABC=43,则b=________.
答案23
解析∵cosC=13,∴sinC=223,
∴12absinC=43,∴b=23.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60°,a=3,b=1,则c=________.
答案2
解析由正弦定理asinA=bsinB,得3sin60°=1sinB,
∴sinB=12,故B=30°或150°.由a>b,
得A>B,∴B=30°,故C=90°,
由勾股定理得c=2.
9.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则asinA+b2sinB+2csinC=________.
答案7
解析∵△ABC的.外接圆直径为2R=2,
∴asinA=bsinB=csinC=2R=2,
∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.
10.在△ABC中,A=60°,a=63,b=12,S△ABC=183,则a+b+csinA+sinB+sinC=________,c=________.
答案126
解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.
∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183,
∴sinC=12,∴csinC=asinA=12,∴c=6.
三、解答题
11.在△ABC中,求证:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
证明因为在△ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R,
所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA
=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.
所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
12.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.
解设三角形外接圆半径为R,则a2tanB=b2tanA
a2sinBcosB=b2sinAcosA
4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA
sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
2A=2B或2A+2B=π
A=B或A+B=π2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
能力提升
13.在△ABC中,B=60°,最大边与最小边之比为(3+1)∶2,则最大角为()
A.45°B.60°C.75°D.90°
答案C
解析设C为最大角,则A为最小角,则A+C=120°,
∴sinCsinA=sin120°-AsinA
=sin120°cosA-cos120°sinAsinA
=32tanA+12=3+12=32+12,
∴tanA=1,A=45°,C=75°.
14.在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若a=2,C=π4,
cosB2=255,求△ABC的面积S.
解cosB=2cos2B2-1=35,
故B为锐角,sinB=45.
所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.
由正弦定理得c=asinCsinA=107,
所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.
1.在△ABC中,有以下结论:
(1)A+B+C=π;
(2)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;
(3)A+B2+C2=π2;
(4)sinA+B2=cosC2,cosA+B2=sinC2,tanA+B2=1tanC2.
2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化,从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.